Dragan je u novobečejsko Jedinstvo došao iz zrenjaninskog Proletera. Ne zato što Proleteru nisu odgovarali njegovi fudbalski kvaliteti, jer je Dragan raspolagao takvom fudbalskom veštinom i izvanrednom fizičkom konstitucijom, da je tada bio interesantan za svaki naš prvoligaški tim, već zbog izvesnih nesporazuma.
Odmah po dolasku u Jedinstvo, ispoljio je svoje posebne fudbalske kvalitete i u svim elementima igre odskakao je od igrača ranga takmičenja u kome je učestvovalo novobečejsko Jedinstvo. Da ovo nisu neopravdane slavopojke, ilustrovaćemo ocenom Ante Mladinića, trenera beogradskog Partizana, koji je prisustvovao utakmici između Jedinstva i mlade reprezentacije Jugoslavije odigrane u Novom Bečeju, na kojoj je Dragan Džajski bio najzapaženiji fudbaler utakmice. Mladinić mu je ponudio, da odmah po završetku prvenstvene sezone pređe u Partizan, ne pitajući ga za uslove. Kakvim je fudbalskim kvalitetima raspolagao dovoljno je reći da su, na toj utakmici, za mladu reprezentaciju igrali: Gudelj, Baždarević, Boško Đurovski, Milan Janković, Zoran Varga, Zoran Živković, Marko Mlinarić i dr.
Jedinstvo se tada pripremalo za ulazak u Vojvođansku ligu i za Džajskog, ponuda Mladinića, nije dolazila u obzir jer je on u to vreme postao pravi ljubimac novobečejske publike.
Bio je snažan, brz, izvanredan tehničar, koji predaje loptu svom saigraču sa milimetarskom preciznošću na pravo mesto i u pravi momenat. Delovao je naizgled tromo, ali kad ima loptu nije bilo igrača koji mu je mogao oduzeti. I baš zbog toga, što mu je bilo teško, da ne kažemo nemoguće oduzeti loptu, jedan igrač Kozare iz Banatskog Velikog Sela, na prijateljskoj utakmici u Novom Bečeju ga je klizećim startom onesposobio za večita vremena. Polomio mu je nogu i Dragan se zauvek oprostio od fudbala (u 23. godini života), koji je za njega predstavljao osnovnu sadržinu života, bar u to vreme. Bio je to prevremeni kraj jedne blistave fudbalske karijere — najsurovija sudbina koja može da zadesi jednog sportistu.
Ni danas, mnogima u Novom Bečeju nije jasno, kako je igrač takvih kvaliteta došao u Jedinstvo i tu nameravao da nastavi sa svojim velikim fudbalskim majstorijama. Tome je nema sumnje doprinela i iskrena ljubav novobečejske publike prema takvom asu i priznanje njegovim visokim fudbalskim, ali i ljudskim kvalitetima.
